Operaciones con conjuntos

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Unión o Reunión

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B

A ∪ B = { x/x ∈ A ∨ x ∈ B)

Se lee: A unión B está formado por todos los elementos x tal que x pertenece a A ó x pertenece a B ó bien x pertenece a los dos conjuntos a la vez.

Ejemplo:

A = {a,b,c,d,e,f}

B = {b,c,d,e,f,j,k}

A ∪ B = {a,b,c,d,e,f,j,k}

Unión con los conjuntos especiales

a) La unión  de un conjunto consigo mismo

M ∪ M = M

M = {a,b,c}

M ∪ M = {a,b,c}

b) Dado el conjunto

P = {14,7,8,9} y U = {números}

P ∪ U = U

c) Dado el conjunto R = {m,n,p} y S = ∅

Unión de más de dos conjuntos

Dados:

A = {2,3,4,5}

B = {4,5,6,7}

C = {7,8,9,3}

A ∪ B ∪ C = {2,3,4,5,6,7,8,9}

A ∪ B ∪ C = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∨ C }

Se lee: A unión B unión C es igual al conjunto de las x tal que x pertenece al conjunto A ó x pertenece al conjunto B ó x pertenece al conjunto C.

Representación gráfica:

Intersección

Se llama intersección de dos conjuntos R y S al conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a R y a S.

R ∩ S = {x/x ∈ R ∧ x ∈ S}

Se lee: R intersección S es el conjunto formado por los elementos x tal que x pertenece a R y x pertenece a S.

Representación gráfica:

Ejemplos:

R = {m,n,r,s,t}

S = {m,n,p,q}

R ∩ S = {m,n}

Otro ejemplo es:

M = {flores rojas}

N = {rosas}

M ∩ N = {rosas rojas}

Intersección con los conjuntos especiales

a) La intersección de un conjunto consigo mismo.

M = {a,b,c}

M ∩ M = {a,b,c}

M ∩ M = M

b) Intersección con el conjunto Universo

Dado el conjunto:

P = {4,7,8,9}

U = {números}

P ∩ U = P

c) Intersección con conjunto vacío

Dados:

S = {7,6,8,13} y R = ∅

S ∩ R = ∅

Intersección de más de dos conjuntos

Dados los siguientes conjuntos:

R = {x/x ∈ N; 5 ≤ x ≤ 11}

B = {x/x ∈ N; 7 < x ≤ 13}

C = {x/x ∈ N; 2 < x < 11}

Definimos los conjuntos dados por extensión:

R = { 5,6,7,8,9,10,11}

B = {8,9,10,11,12,13}

C = {3,4,5,6,7,8,9,10}

R ∩ B ∩ C = {8,9,10}

R ∩ B ∩ C = {x/x ∈ N; x ∈ R ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C}

Se lee: R intersección B intersección C es el conjunto de las x tal que x pertenecen a los números naturales, x pertenece a R y x pertenece a B y x pertenece a C}

En el mismo gráfico se pueden determinar:

R ∩ B = {11,8,9,10}

R ∩ C = {5,6,7,8,9,10}

B ∩ C = {8,9,10}

Diferencia

Se llama diferencia entre un conjunto A y otro conjunto B, al conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B.

A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}

Se lee: A diferencia con B es el conjunto de las x tal que x pertenecen al conjunto A y x no pertenecen al conjunto B.

Ejemplo:

A = {a,b,c,d,e,f} y B = {a,e,c,m,r,s}

A – B = {b,d,f}

Representación gráfica:

Propiedades de las operaciones con conjuntos

Propiedades de la unión

Asociativa: Si en una unión de tres o más conjuntos se reemplazan dos conjuntos por su unión efectuada se obtiene el mismo resultado.

R ∪ S ∪ T = (R ∪ S) ∪ T

R ∪ S ∪ T = (R ∪ (S ∪ T)

Conmutativa: Si en una unión se altera el orden de los conjuntos el resultado no varía.

R ∪ S ∪ T = S ∪ R ∪ T

R ∪ S ∪ T = T ∪ R ∪ S

Propiedades de la intersección

Asociativa: Si en una intersección de tres o más conjuntos se reemplazan dos de ellos por su intersección efectuada, el resultado no varía.

R ∩ S ∩ T = (R ∩ S) ∩ T

R ∩ S ∩ T = R ∩ (S ∩ T)

Conmutativa: Cambiando el orden de los conjuntos, la intersección no altera.

R ∩ S ∩ T = R ∩ T ∩ S

R ∩ S ∩ T = T ∩ R ∩ S

Propiedades de la diferencia:

La diferencia de conjuntos no es asociativa.

La diferencia de conjuntos no es conmutativa.

Propiedad distributiva

a) La unión es distributiva con respecto a la intersección.

(R ∩ S) ∪ T = (R ∪ T) ∩ (S ∪ T)

b) La intersección de conjuntos es distributiva con respecto a la unión.

(R ∪ S) ∩ T = (R ∩ T) ∪ (S ∩ T)


  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
Sobre Gustavo Zimbrón 170 artículos
Apasionado por la programación y la tecnología, me gustan los retos y aprender siempre cosas nuevas.
Subscribe
Notify of
guest
0 Comentarios
Inline Feedbacks
View all comments