Teoría de conjuntos

El mundo en que vive el ser humano está rodeado de con­juntos: conjunto de utensilios de cocina, conjuntos de muebles de una habitación, conjunto de libros de una biblioteca, con­junto de árboles.

En todos ellos se usa la pala­bra conjunto con un significado de colección de varios objetos.

Representación: La represen­tación gráfica de los conjuntos se realiza a través de diagramas de Venn (línea curva cerrada).

John Venn, filósofo inglés (1834-1923), realizó importan­tes estudios de lógica; es conoci­do por los diagramas que llevan su nombre, los que son repre­sentaciones gráficas de silogis­mos y proposiciones.

Los objetos que integran un conjunto reciben, en matemá­tica, el nombre particular de ele­mentos del mismo; y se repre­sentan simbólicamente por me­dio de letras minúsculas cursi­vas.

A cada conjunto se lo designa usando una letra mayúscula de imprenta.  Ejemplo: M repre­senta el conjunto de los dedos de la mano.

A cada elemento de dicho conjunto le asignamos para su representación gráfica una letra.

• a representa pulgar.
• b representa índice.
• c representa mayor.
• d representa anular.
• e representa meñique.

Pertenencia: Cuando un ele­mento forma parte de un con­junto, dicho elemento pertenece al conjunto.

∈ pertenece.

Cuando un elemento no está en un conjunto, dicho elemento no pertenece al conjunto

∉ no pertenece.

Ejemplo: Consideramos el conjunto P de animales domésticos

COMO SE DEFINE UN CONJUNTO

Matemáticamente se considera que una reunión de elementos es un conjunto cuando está per­fectamente definido, o sea, cuando se sabe con exactitud qué elementos pertenecen a él.

Para definir un conjunto se utilizan dos llaves en las cuales se encierran sus elementos o la propiedad que los caracteriza.

{ }

Cuando se nombra cada ele­mento que integra el conjunto se dice que está definido por extensión o numeración.

Si lo caracterizamos usando una propiedad o enunciado que permita afirmar si un elemento cualquiera pertenece o no al conjunto, decimos que queda definido por comprensión o pro­piedad.

En síntesis:

Se puede definir un conjunto por «extensión» o «comprensión«.

Dado el conjunto M = { dedos de la mano } , definimos por extensión el conjunto M:

M = { pulgar, índice, mayor, anular, meñique }

De igual modo quedaría definido por comprensión diciendo:

M = { x/x es dedo de la mano }

que se lee: «El conjunto M está formado por los elementos x tal que x es dedo de la mano«.

A = { a,e,i,o,u } (extensión)

A = { x/x es una vocal } (comprensión)

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

Dados los siguientes conjuntos:

M = { los meses del año }
N = { los números naturales }
P = { los países de América }
Q = { los números impares }

Si definimos por extensión los conjuntos N y Q nunca llegaremos a nombrar su último elemento, pues siempre es posible enumerar uno más. Estos conjuntos se llaman infinitos.

N = { 0,1,2,3,4,5, … }

Q = { 1,3,5,7,9, … }

Se cierra la llave después de los puntos suspensivos para indicar que no hay último elemento.

Los conjuntos que no son infinitos se llaman finitos y a continuación de los puntos suspensivos se escribe el último elemento.

M = { enero,febrero,marzo, … diciembre }

P = { Argentina, Brasil, México, Perú, … Uruguay }

CONJUNTOS ESPECIALES

Conjunto vacío

Se le llama conjunto vacío al que carece de elementos.

Se designa con ∅

T = { x/x es un elemento de primer año de 3 años de edad }

El conjunto T tiene por elementos los x tales que x es un alumno de primer año de 3 años de edad; es igual al conjunto vacío; de modo que no existen en primer año alumnos de 3 años de edad.

Conjunto unitario

Se le llama conjunto unitario al que tiene solo un elemento.

Conjunto universal o referencial

Es el conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia.

Ejemplo: Consideramos como universal el conjunto de todos los animales

U = { x/x es un animal }

Subconjunto, inclusión

Se dice que un conjunto S está incluido en C si y solo si todo elemento de S pertenece a C.

C = { frutas }

S = { frutas cítricas }

S ⊂ C ⇔ ∀_x/x ∈ S ⇒ x ∈ C; ∃_y/y∈ C ^ y ∉ S

Se lee: S es un subconjunto de C o S está incluido en C si para todo x; tal que x pertenece al subconjunto S implica que x pertenece al conjunto C; pero existe algún elemento y tal que y pertenece al conjunto C y no pertenece al subconjunto S.

S = { lima, limón, …naranja }

C = { pera, plátano, limón, naranja, …durazno }

Conjuntos iguales

Se dice que un conjunto M es igual al conjunto N cuando tiene los mismos elementos; y todo elemento de M pertenece al conjunto N y todo elemento de N pertenece al conjunto M.

M = { a,e,i,o,u }

N = { a,e,i,o,u }

También se define la igualdad entre conjuntos por medio de la inclusión.

Dos conjuntos M y N son iguales si y solo si el primero está incluido en el segundo y recíprocamente.

M = N ⇔ M ⊂ N ^ N ⊂ M

Propiedades de la inclusión y de la igualdad

Las relaciones de inclusión e igualdad entre conjuntos tienen las siguientes propiedades:

Conjuntos disjuntos

Dos conjuntos se dicen disjuntos cuando no tienen ningún elemento común.

Ejemplo:

A = { 7,8,9,10 }

B = { 1,2,3,4,11 }

Estos conjuntos son disjuntos pues no tienen ningún elemento común.

Complemento

Dados los siguientes conjuntos:

M = { 6,7,8,9,10 }

N = { 7,8,9 }

Se llama complemento de N con respecto a M al conjunto de los elementos de M que no pertenecen a N.

C_N;M = { 6,10 }

Se lee: complemento de N con respecto a M.

C_N;M = { x/x ∈ M ^x ∉ N }

Se lee: El complemento de N con respecto a M tiene por elementos los x tales que x pertenece a M y x no pertenece a N.